Sistemas Lineares consistem em um conjunto de equações que possuem correlação entre as incógnitas. Sendo assim, o conjunto solução de um sistema
linear é composto pelo valor das incógnitas que satisfazem todas as equações desse sistema.
Os valores que as incógnitas vão assumir para validar uma das equações devem ser os mesmos para as outras, ou seja, todas as equações desse sistema linear
devem possuir o mesmo conjunto solução.
Portanto,dizemos que o conjunto (a1, a2, a3, ... ,an) é o conjunto solução de um sistema linear, se este
for a solução de cada uma das equações do sistema linear. Vejamos um exemplo para que possamos compreender melhor toda essa teoria:
x + y = 10
2x - y = 5
Temos um sistema com duas equações: na primeira podemos dizer diversos conjuntos soluções que satisfazem essa equação, por exemplo, x = 4 e y = 6;
x = 3 e y = 7 e assim por diante. Entretanto devemos encontrar, dentre esses conjuntos, um que satisfaça também a segunda equação.
Vamos analisar o conjunto (6,4):
Na equação x + y = 10, substituindo a solução por x = 6 e y = 4 temos: 6 + 4 = 10 (esse conjunto satisfaz a primeira equação)
Na equação 2x - y = 5, temos: 2.6 - 4 = 5, logo 8 = 5 (Falso).
Esse conjunto solução não satisfaz a segunda equação, por isso não podemos afirmar que esse conjunto solução seja a resposta do sistema linear.
Ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é, apenas um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é determinado pois sua única
solução é o par ordenado (4,1)
x + y = 5
x - y = 3
Esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um
valor, (0,4),(1,3),(2,2),(3,1), etc.
x + y = 4
0x + 0y = 0
Ao ser resolvido, não encontramos soluções possíveis para as incógnitas, por isso esse tipo de sistema é chamado de impossível (óbvio né). O sistema
a seguir é impossível.
x + y = 9
x + y = 5
2x - y = 9 (I)
x + y = 12 (II)
Primeiro passo: isolar o x ou y em uma das equações. Vamos isloar o x na equação II:
x + y = 12
x = 12 - y
Substituindo o x na equação I temos:
2x - y = 9
2(12 - y) - y = 9
24 - 2y - y = 9
-3y = -15
y = 5
para encontrar o valor de x:
x = 12 - y
x = 12 - 5
x = 7
Método da Soma:
O método da soma é uma forma simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair
ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulem.
2x - y = 9
x + y = 12 (+)
3x + 0y = 21
x = 7
para achar y temos:
y = 12 - x
y = 12 - 7
y = 5
1) Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método da substituição:
a) x-y = 5
y = 2x + 8
b) x + y = 9
y = x - 5
c) x - y = 7
x - y = 3
d) x + y = 7
x - y = 1
2) Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método da soma:
a) x - y = 5
x + y = 7
b) x + 2y = 7
x - 2y = -5
c) 2x - y = 0
x + y = 15
d) x - y = 6
x + y = -7
3)Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos por
questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que errava ou deixava em branco. Se um aluno totalizou 210 pontos,
qual o número de questões que ele acertou?
4)Em um escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre
advogam em causas diferentes, a secretaria Cláudia coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para
diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que , ao todo, são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos.
Calcule o número de processos do Dr. Carlos.
5) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede
a metade do de laranjas em 4 unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.
6) Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro canetas
e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno.